详谈用Dowell's方程精确计算交流铜损
原创 磁性元器达人 磁性元件达人 2026年1月15日 06:18 广东
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精确计算交流铜损（AC Copper Loss）是磁性元件设计中的难点，因为它涉及到趋肤效应（Skin Effect）和邻近效应（Proximity Effect）。简单的 Irms^2R 只能算出直流损耗，而在高频（如100kHz）下，交流损耗往往能占到总损耗的50%以上。
要实现“精确”计算，在Excel中实现 Dowell's Equation（道威尔方程） 的数值解。以下是构建该计算模板的完整方案：
�� 核心原理：Dowell's Equation
Dowell's Equation 描述了多层绕组在受到磁场激励时，交流电阻与直流电阻的比值 (R_{ac}/R_{dc})。
关键参数：
* δ (δ)：趋肤深度。
* d：导线厚度（如果是圆线，则为直径）。
* N：绕组层数。
* f：工作频率。
�� 第一步：建立基础参数表
在Excel中设定以下输入参数（以之前的800W正激变压器次级绕组为例）：
A (描述) B (数值) C (单位) D (备注)
频率 (f) 100000 Hz 100kHz
导线厚度 (d) 0.5 mm 假设使用0.5mm厚的铜带或扁线
绕组层数 (N) 4 - 总共绕了4层
铜电阻率 (ρ) 2.2E-8 Ωm 100℃时的电阻率
相对磁导率 (mu_r) 1 - 铜的磁导率
�� 第二步：计算中间变量
我们需要计算 Dowell 方程中所需的无量纲参数。
1. 计算趋肤深度 (δ)：
δ =√{{ρ}/{π f u_0 u_r}}
* u_0 = 4πX10^{-7}
Excel公式： =SQRT(B4/(PI()B24PI()POWER(10,-7)B5))
* 结果约为：0.209 mm (在100kHz下)
2. 计算 X 参数 (用于查表/计算)
X = d/δ X √{2}
* Excel公式：
=(B3/B7)*SQRT(2)
* 假设导线厚0.5mm，则 X ≈ 3.38
⚙️ 第三步：实现 Dowell's Equation (核心)
Dowell's Equation 的形式为：
R_{ac}/{R_{dc}}=Re{X/2Xcoth(X)}+Im {X/2X tan(X)}
但在工程应用中，我们通常使用其简化后的实数近似或分段计算。在Excel中，我们可以利用 实部 (Re) 和 虚部 (Im) 的级数展开来计算
推荐的Excel计算逻辑：
假设：
* X 的值在单元格 B9 中。
* 层数 N 的值在单元格 B10 中。
我们需要计算每一层的损耗贡献。总交流电阻比的计算公式比较复杂，通常采用以下步骤：
1. 计算单层因子：
Fr =X/2X{cosh(X) + cos(X)}/{sinh(X) + sin(X)}
(这是一个简化的近似，用于估算)
2. 计算总损耗比：
对于 N 层绕组，交流电阻比近似为：
Rac/{Rdc=Fr/3X[N^3 + (N-1)^3 X0.5]
(注：0.5是层间磁场衰减的经验系数)
⚠️ 更精确的做法（建议）：
由于公式极其复杂，建议在Excel中建立一个 “交流电阻比查找表”。
* 制作查表： 根据经典的Dowell曲线图（横轴是fXd 或 d/δ，纵轴是 R_{ac}/R_{dc}），录入标准数据点。
* 使用公式查询： 利用 Excel 的 FORECAST.LINEAR 或 TREND 函数，根据你计算出的 X 值去插值计算出精确的 R_{ac}/R_{dc}。
�� 第四步：结合具体案例计算 (800W 正激)
假设我们要计算次级绕组（电流极大）：
1. 直流电阻 (R_{dc})：
* 测量或计算绕组平均匝长 (MTL)，假设为 120mm。
* 导线截面积：宽 10mm x 厚 0.5mm = 5 mm²。
* R_{dc} = ρX总长度/ 截面积。
Excel公式=B4 (B10 * 0.12) / 0.000005 (注意单位统一为米)。
2. 交流电阻修正因子 (F_r)：
* 假设通过查表或计算，得出在 100kHz，0.5mm厚度，4层绕组下，F_r = 2.5。
* (这意味着交流电阻是直流电阻的2.5倍)。
3. 交流电阻 (R{ac})：
R{ac} = R{dc} XFr
Excel公式：=Bxx 2.
4. 交流铜损 (P_{ac})：
P_{ac} = I_{rms}^2 XR_{ac}
Excel公式：=Bxx^2 Bxx
�� 提升精度的 3 个技巧
1. 分段计算（谐波分析）：
变压器电流并非纯正弦波，而是包含开关频率的谐波。
* 做法：在Excel中使用 FFT分析 或将电流波形分解为基波+谐波。
* 计算：分别计算 1次谐波、3次谐波... 的趋肤深度，然后叠加损耗。
2. 邻近效应的叠加：
如果是多层饼式绕法，层与层之间的漏磁场会加剧损耗。
* 修正系数：在计算出的 P_{ac} 基础上，乘以一个 1.2 ~ 1.5 的安全系数。
3. 温度反馈回路：
电阻率随温度升高而增加（铜温升10℃，电阻增加约4%）。
* 做法：建立迭代计算。
* 先算损耗 -> 估算温升 -> 计算新电阻率 -> 重新算损耗 -> 直到温升值收敛。
�� 总结
要在Excel中做到“精确”：
1. 不要只用简单的趋肤深度公式（它只适用于单根导线）。
2. 必须引入 Dowell's Equation 或 查表法 来处理多层绕组的邻近效应。
3. 对于圆线，可以将其等效为厚度等于其直径的扁线进行近似计算。
你可以先在Excel中建立一个简单的查表模型，输入“频率”和“线径”，输出“Rac/Rdc”，这将大大提高你800W变压器设计的可靠性。
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